dlinyj | Двойное дифференцирование в реальном времени.

Приветствую коллеги. В июне я занимался ночными посиделками с математикой, кдой за столом и ностальгировал по стругацким. А именно http://dlinyj.livejournal.com/326530.html . Так вот, в эту коммандировку подтвердил все свои скромные рассчёты и доказал, что они были верными. Не вдаваясь в подробности "а нафига", мы занимаемся измерением собственных колебаний шины ака прогиба. Шина 500 кВ представляет собой трубу длинной 19 метров, диаметром 250 мм и толщиной стенки 5 мм, из особо прочного алюминиевого сплава (легко выдерживает груз из трёх человек). На шину ставится датчик ускорения или более научно акселерометр, который снимает ускорение шины.

Шина 500 кВ и установленный на ней датчик ускорения

Но как вы сами понимаете, что ускорение не то самое, что нам нужно. Нам нужен именно колебания шины, перемещение. А снимаем мы ускорение, а что у нас ускорение - это ДВОЙНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ!. Как нельзя кстати нашёлся военный датчик перемещения на этом заводе, мы его поставили. И что же вы думаете - полностью подтвердил мои расчёты:

Серый график - реальный прогиб шины, чёрный - ускорение снимаемое с акселерометра

Что и требовалось доказать! По сути график ускорения отстаёт от графика перемещения на 90 градусов. Т.е. мы снимаем реальную функцию и функцию дважды продифференцированную по времени.

Про акселерометр можно прочитать тут http://ru.wikipedia.org/wiki/Акселерометр или поискать у меня в ЖЖ. А датчик перемещения представляет собой по сути переменный резистор, на который намотана проволка и может заматыватся обратно, как в измерительной рулетке. При выдвижении или затягивании проволки меняется сопротивление, а следовательно ток протекающий через резистор. Мы и снимаем падение напряжение на этом резисторе. датчик лежит на земле, придавленный грузом, к проволке привязанна леска, переброшенная через шину:

Датчик перемещения, всё гениальное просто!

Теперь перейдём к математике сего процесса. Уравнения колебания и снимаемого с датчика ускорения описываются так:

Вся эта сложность связанна с тем, что колебания у нас затухающие, и затухают (в идеале), по экспоненте (но мы-то с вами понимаем, что идеала нет ;) ). Ускорение снимаемое с датчика является двойной производной перемещения шины (прогиба):

Или

Как мы видим, формула достаточно монструозная, и её стоит упростить. Вернёмся к выжимке из моей научной работы:

Т.е. по сути дела говоря, ускорение а отличается от прогиба шины в минус омега квадрат раз! Что иллюстрирует график, построенный в маткаде (ускорение разделено на омега квадрат, для соотношения амплитуд).

График перемещения s(t) и ускорения a(t), уменьшинного в омега квадрат раз

Как видим прекрасно соответствует картинке сверху. Всегда приятно, когда математическая модель и реальная жизнь совпадают. Но всё это хорошо работает на линейных системах с гармоническими колебаниями, и совершенно не подходит при множестве гармоник и полной нелинейности. В данном случае до 12 периодов систему можно считать условно линейной.

Интересно, кто-нибудь дочитал до этого места?

Знаю что возможно детский сад, но по моему очень наглядно иллюстрирует дифференцирование.
X-posted